Supposons que $$x\geq y \geq z$$. Nous avons que $$\sqrt[m]{xy}\geq \sqrt[m]{xz}\geq \sqrt[m]{yz}$$ et $$ \begin{equation} \frac{\sqrt[n]{x}}{1+\sqrt[n]{x}}\geq \frac{\sqrt[n]{y}}{1+\sqrt[n]{y}}\geq \frac{\sqrt[n]{z}}{1+\sqrt[n]{z}} \end{equation}$$ Par l'inégalité de Chebyshev, $$ \begin{equation} \sum \sqrt[m]{xy} \frac{\sqrt[n]{z}}{1+\sqrt[n]{z}}\leq 1/3*(\sum \sqrt[m]{xy})(\sum \frac{\sqrt[n]{x}}{1+\sqrt[n]{x}}) \end{equation} $$ Les dérivées secondes des functions $$\sqrt[m]{x}$$ et $$\frac{\sqrt[n]{x}}{1+\sqrt[n]{x}}$$ sont négatives. Donc les fonctions sont concaves. Alors par l'inégalité de Jensen, $$ \begin{equation} \sum \frac{\sqrt[n]{x}}{1+\sqrt[n]{x}}\leq 3*\frac{\sqrt[n]{(x+y+z)/3}}{1+\sqrt[n]{(x+y+z)/3}}=3/2, \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \sum \sqrt[m]{xy}\leq 3*\sqrt[m]{(xy+xz+yz)/3} \end{equation} $$ Mais on connaît que $$3(xy+xz+yz)\leq (x+y+z)^2=9\rightarrow xy+xz+yz\leq 3 $$ Par conséquent, $$\sum \sqrt[m]{xy} \frac{\sqrt[n]{z}}{1+\sqrt[n]{z}} \leq 1/3*3*3/2=3/2$$ Crux Mathematicorum, Problem 5118
